ビンゴゲームの確率計算  

 懇親会の定番ビンゴゲーム。ルールが易しくて準備も簡単です。しかしよく経験するのがなかなか上がりが出ない事。次々 に読み上げないとゲームが進まない し、進行が早すぎても苦情がでます。

 どのような具合に上がりが出るのか興味が湧き確率を計算してみました。ネット上にはすでに色々な解がアップされ ていますので今更とも 思いますが、せっかくあれこれ考えてみたのでご披露を・・・(^_^;)。

  まず数字の最大値をmとします。これは75であることが多いようです。マスは5×5、真ん中はフリー。

 5個の数字で構成される軸が上がる確率aは、読み上げた数字の個数をnとすると

     a=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)

 4個の数字で構成される真ん中のFREEを含む軸が上がる確率bは、

     b=n(n-1)(n-2)(n-3)/m(m-1)(m-2)(m-3)

 FREEを含む軸は4本、含まない軸は8本ですので、n回目までにビンゴ!となる累計確率p1は以下の式で表さ れます。

     p1(n,m)=1-(1-a)^8*(1-b)^4

          これはn回目までに上がる確率の式です。

 数字のカード上での配置については考慮せず単純化しています。nの値によっては配置に制限が出て、誤差が出るよ うな気がしますが無視 (*_*)。

 累積ではなくn回目で上がる確率p2は、累積確率p1のn回目からn-1回目を引けばよいので、

     p2(n,m)=p1(n,m)-p1(n-1,m)

     これはn回目上がる確率の式です。 

  p1、p2の数値計算は表計算ソフトで簡単にできます。ご参考までに私が作ったシートをアップしておきますが、入れる数値によっては表示が 乱 れる未完成品です。

 上記のシートを使って、mを75として累積の上がり率p1をグラフにしてみました。数値はこのページの下にあり ます。

ビンゴ確率

 



 

  結論は、よく見かける最大値75のビンゴカードの場合、18個数字を読み上げて累計約1.4%の人が上がります。 100人位のパーティであればこの辺でビ ンゴ 第1号が出てくるでしょう。24個読み上げると約5%。2〜30人のパーティならたぶんビンゴが出ます。40個ほど 読み上げると半分の人が上がり。50個 でほとんどの人が上がってしまいます。


  なおn回目で上がる確率は、25回目で約1%、30回目で約2%、35回目で約3%、41回目で約4%となり、43回目 で最高の約4.2%です。 100人でのパーティなら25回目から34回目にかけて毎回1〜2人が、35回目から50回目にかけて毎回3〜4人がビ ンゴ!と名乗りを上げるでしょう。


 以下参考までに最大数75の時の計算結果を示します。


回数:n 累計 ビンゴ率:p1 n回目ビンゴ 率:p2
1 0.0000% 0.0000%
2 0.0000% 0.0000%
3 0.0000% 0.0000%
4 0.0003% 0.0003%
5 0.0017% 0.0014%
6 0.0052% 0.0035%
7 0.0125% 0.0073%
8 0.0256% 0.0131%
9 0.0473% 0.0217%
10 0.0808% 0.0335%
11 0.1299% 0.0492%
12 0.1994% 0.0695%
13 0.2946% 0.0951%
14 0.4215% 0.1269%
15 0.5869% 0.1655%
16 0.7987% 0.2117%
17 1.0652% 0.2665%
18 1.3957% 0.3305%
19 1.8004% 0.4047%
20 2.2900% 0.4896%
21 2.8761% 0.5861%
22 3.5709% 0.6948%
23 4.3869% 0.8160%
24 5.3372% 0.9503%
25 6.4350% 1.0978%
26 7.6933% 1.2583%
27 9.1250% 1.4317%
28 10.7422% 1.6172%
29 12.5561% 1.8139%
30 14.5765% 2.0204%
31 16.8115% 2.2350%
32 19.2667% 2.4552%
33 21.9451% 2.6784%
34 24.8464% 2.9013%
35 27.9667% 3.1203%
36 31.2977% 3.3310%
37 34.8267% 3.5290%
38 38.5361% 3.7094%
39 42.4033% 3.8672%
40 46.4006% 3.9973%
41 50.4955% 4.0949%
42 54.6511% 4.1555%
43 58.8264% 4.1753%
44 62.9775% 4.1511%
45 67.0588% 4.0812%
46 71.0238% 3.9650%
47 74.8273% 3.8035%
48 78.4264% 3.5992%
49 81.7829% 3.3564%
50 84.8641% 3.0812%
51 87.6449% 2.7809%
52 90.1089% 2.4640%
53 92.2489% 2.1400%
54 94.0673% 1.8184%
55 95.5758% 1.5086%
56 96.7949% 1.2191%
57 97.7517% 0.9568%
58 98.4789% 0.7272%
59 99.0119% 0.5330%
60 99.3871% 0.3752%
61 99.6394% 0.2522%
62 99.8003% 0.1609%
63 99.8970% 0.0967%
64 99.9511% 0.0541%
65 99.9790% 0.0279%
66 99.9920% 0.0130%
67 99.9974% 0.0054%
68 99.9993% 0.0019%
69 99.9998% 0.0006%
70 100.0000% 0.0001%
71 100.0000% 0.0000%
72 100.0000% 0.0000%
73 100.0000% 0.0000%
74 100.0000% 0.0000%
75 100.0000% 0.0000%

 

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